Clasa a 4 a si a 5 a - suma lui Gauss

✅Suma lui Gauss este formula pentru calculul sumei primelor numere naturale consecutive (valabila doar pentru sume care incep cu 1).

1. Calculeaza folosind Suma lui Gauss:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6+7=

Rezolvare:

Formula pentru suma lui Gauss este: S = n * (n+1) : 2

n = 7 -> ultimul numar al sirului

S = suma

S = 7 * (7 + 1) : 2

S = 7 * 8 : 2

S = 7 * 4

S = 28

2. Calculeaza folosind Suma lui Gauss:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +….+ 50=

Rezolvare:

S = n * (n+1) : 2, unde S=suma si n= ultimul numar al sirului=50

S = 50 * (50 + 1) : 2

S = 50 * 51 : 2 

S = 51 * 50 : 2 

S = 51 * 25 => S = 1275

3. Calculeaza folosind Suma lui Gauss:

2 + 4 + 6 + 8 + …..+ 100=

Rezolvare:

Prima data ne uitam si vedem ca avem o suma de numere pare: primul numar este 2, deci nu putem folosi Suma lui Gauss, dar vedem ca fiecare din numerele din suma se imparte la 2. Putem scrie suma astfel: 2 * 1 + 2 * 2 + 2 * 3 + 2 * 4+ .... + 2 * 50=

Scoatem factor comun 2 si vom avea: 2 * (1 + 2 + 3 + 4+ …. + 50)=

Acum putem folosi Suma lui Gauss pentru adunarea din paranteza, deoarece incepe cu 1 si sunt numere consecutive.

S = n * (n+1) : 2, unde S=suma si n= ultimul numar al sirului=50

S = 50 * (50 + 1) : 2 

S = 50 * 51 : 2 

S = 51 * 50 : 2 

S = 51 * 25 => S = 1275, dar mai avem un 2 in fata parantezei deci suma finala va fi: 2 * S = 2 * 1275 = 2550

4. Calculeaza folosind Suma lui Gauss:

10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 =

Rezolvare:

Prima data ne uitam si vedem ca avem o suma de numere pare: primul numar este 10, deci nu putem folosi Suma lui Gauss, dar vedem ca fiecare din numerele din suma se imparte la 10.

Putem scrie suma astfel: 10 * 1 + 10 * 2 + 10 * 3 + 10 * 4+ 10 * 5 + 10 * 6 + 10 * 7=

Scoatem factor comun 10 si vom avea: 10 * (1 + 2 + 3 + 4+ 5 + 6 + 7)=

Acum putem folosi Suma lui Gauss pentru adunarea din paranteza, deoarece incepe cu 1 si sunt numere consecutive.

n = 7 -> ultimul numar al sirului

S = suma

S = 7 * (7 + 1) : 2

S = 7 * 8 : 2 = 7 * 4 = 

S = 28 dar mai avem un 10 in fata parantezei deci suma finala va fi: 10 * S = 10 * 28 = 280

5. Calculeaza folosind Suma lui Gauss:

3 + 6 + 9 + 12 + …..+ 2013=

Rezolvare:

Putem scrie suma astfel: 3 * 1 + 3 * 2 + 3 * 3 + 3 * 4 + .... + 3 * 671=

Scoatem factor comun 3 si vom avea: 3 * (1 + 2 + 3 + 4 + …. + 671)=

Acum putem folosi Suma lui Gauss pentru adunarea din paranteza, deoarece incepe cu 1 si sunt numere consecutive.

S = n * (n+1) : 2, unde S = suma si n = ultimul numar al sirului = 671

S = 671 * (671 + 1) : 2 

S = 671 * 672 : 2 

S = 671 * 336 => S = 225456, dar mai avem un 3 in fata parantezei deci suma finala va fi: 3 * S = 3 * 225456 = 676368

6. Calculeaza folosind Suma lui Gauss:

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18=

Rezolvare:

Putem scrie suma astfel: S = 11 + 11 + 1 + 11 + 2 + 11 + 4 + 11 + 5 + 11 + 6 + 11 + 7 =

S = 11 * 8 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 

S = 88 + 7 * 8 : 2 

S = 88 + 7 * 4

S = 88 + 28

S = 116